Тангенс угла - это отношение противолежащего от угла катета к прилежащему.
tgB = AC/BC
По теореме пифагора найдем катет АС
АС = √(5 - 1) = 2
tgB = 2 / 1 = 2
Обозначим второй катет "х", гипотенузу "у".
По свойству биссектрисы составим пропорцию:
х/6 = у/10.
Отсюда получаем первое уравнение:
10х = 6у или 5х = 3у.
Второе уравнение по Пифагору:
х² + (6+10)² = у².
Делаем подстановку из первого уравнения: у = (5/3)х.
х² + 256 = (25/9)х²,
9х² + 256*9 = 25х²,
16х² = 16²*9
х² = 16*9
х = 4*3 = 12.
Для треугольника АСМ отрезок АМ - это гипотенуза.
АМ² = х² + 6² = 144 + 36 = 180,
АМ = √180 = 6√5.
Искомый радиус равен половине гипотенузы АМ и равен 3√5.
Чертим 2 подобных треугольника один в другом, то есть у треугольника МСТ сторона МТ лежит на стороне ML, а сторона MS на MK. так как треугольники подобны стороны относятся друг к другу - ML/MT = MK/MS.
ML/MT=2/1=MK/MS = MK/5 => MK=MS*2 MK=10 => KS = MK/2 KS = 5см
4X * ( Y / 2.5 ) = ( 4XY \ 2.5 ) = 1.6XY
Ответ площадь увеличится в 1.6 раз
См. ПЕРВЫЙ чертеж. На нем все обозначения.
q^2 = R^2 - (m/2)^2;
p^2 = r^2 - (m/2)^2;
Отсюда
(2*m)^2 + (q - p)^2 = (R + r)^2; (это просто теорема Пифагора)
4*m^2 + q^2 + p^2 - 2*q*p = R^2 + r^2 + 2*R*r;
4*m^2 + R^2 + r^2 - m^2/2 - R^2 - r^2 - 2*R*r = 2*q*p; (свожу подобные и делю на 2);
(7/4)*m^2 - R*r = q*p; (это возводится в квадрат);
(49/16)*m^4 - 2*(7/4)*m^2*R*r + R^2*r^2 = (R^2 -m^2/4)*(r^2 - m^2/4) =
= R^2*r^2 - (1/4)*m^2*(R^2 + r^2) + m^2/16; (ясно, что свободные от неизвестного m слагаемые выпадают, и степень понижается :));
3*m^2 = (7/2)*R*r - (R^2 + r^2)/4;
Собственно, это ответ. Его можно "переписывать" в каких-то иных формах, например, так
m = (√3/6)*√(16*R*r - (R + r)^2);
сути это не меняет.
<em>Почему эта задача вызвала такие моральные затруднения, я не понимаю. </em>
<em>Арифметику проверяйте! :)</em>
<em>Мне захотелось показать несколько простых ЧУДЕС, которые зарыты в этом условии. См. ВТОРОЙ рисунок, он немного отличается от первого. Семь отличий искать не надо :). Проведена общая внутренняя касательная до пересечения с прямой. Она делит средний (из трех равных) отрезок на части x и m - x; отрезок касательной t;</em>
<em>Ясно, что x*(x + m) = t^2 = (m - x)*(m - x + m);</em>
<em>откуда легко найти x = m/2; </em>
<em>то есть общая внутренняя касательная делит средний отрезок пополам.</em>
<em>Это уже НЕЧТО, но есть и дальше :) </em>
<em>r^2 + t^2 = p^2 + (x + m/2)^2 = r^2 - m^2/4 + m^2; </em>
<em>t^2 = (3/4)^m^2;
t = m*√3/2; </em>
<em>к сожалению, это не сильно помогает в поиске m :);</em>
